多体物理读书会:Dirac delta函数从零到正无穷的积分

问题

证明积分:

\begin{equation} \label{eq:1} \int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}x \delta (x)f(x) = \frac{1}{2}f(0) \end{equation}

Dirac delta函数的定义

一般定义

一般定义为

\begin{equation} \label{eq:2} \delta (x) =\left\{ \begin{array}{ccc} +\infty & ,& x = 0 \\ 0 &, & x \neq 0 \end{array}\right. \end{equation}

且满足

\begin{equation} \label{eq:3} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \mathrm{d}x = 1 \end{equation}

但这不够严格。Dirac delta 函数不是一个函数,它是一个分布。

严格定义

如果一个分布$δ(x)$作用在一个test function$f(x)$上,得到的结果是\(f(0)\)

\begin{equation} \label{eq:4} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x \delta(x)f(x) = f(0) \end{equation}

,那么这个分布就是Dirac delta 函数。

性质

通过初步的尝试,发现只要证明

\begin{equation} \label{eq:5} \delta (x) f(x) = \delta (x) f(-x) \end{equation}

即可证明结论(\ref{eq:1})。 一般来说,$δ (x)$当然是一个偶函数,但是$f(x)$却是任意一个函数。它们乘在一起是一个偶函数,这是为什么呢?想像一下$δ(x)$的形状,就得出了答案,因为与$δ(x)$相乘后$f(x)$在$x≠ 0$时都为零了,所以应该有

\begin{equation} \label{eq:6} \delta (x) f(x) = \delta (x) f(0) \end{equation}

只要证明了(\ref{eq:6}),就能证明$δ(x)f(x)$是一个偶函数。
如何验证?能利用的就只有Dirac delta 函数的定义,所以把(\ref{eq:6})右边的$f(0)$移到左边,右边就只剩一个$δ(x)$,那么验证左边满足Dirac delta 函数的定义,就可以证明(\ref{eq:6})了。
把(\ref{eq:6})右边的$f(0)$移到左边后得到

\begin{equation} \label{eq:7} \delta(x) \frac{f(x)}{f(0)} = \delta(x) \end{equation}

验证把(\ref{eq:7})的左边是一个Dirac delta 函数,那么根据定义,只要看把它作用到一个test function上,看它的结果就好了

\begin{equation} \label{eq:8} \begin{split} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\left[\delta(x)\frac{f(x)}{f(0)}\right]g(x) =& \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\delta(x)\left[\frac{f(x)}{f(0)}g(x)\right]\\ =&\frac{f(0)}{f(0)}g(0)\\ =& g(0) \end{split} \end{equation}

所以(\ref{eq:7})得到了验证。

证明

(\ref{eq:5})得到了证明,(\ref{eq:1})的证明就显然了,我就懒得写了。

致谢

感谢Fan Yang师兄提供的巧妙证明。